Египет

Древние египтяне относительно точно определяли   приближение числа p =3.16 , (256/81)

В папирусе Ринда (Ахмеса) содержится  формула для вычисления площади круга

Древняя
Греция

эффективный алгоритм для нахождения наибольшего общего делителя двух целых чисел

Алгоритм  Евклида  дает представление любого рационального числа в виде цепной дроби

Древняя
Греция

Пользовался методом, близкому к разложению "квадратного корня из трех" в цепную дробь.

При нахождении приближения к этому числу   Архимед представил его в виде дроби 256/153

Китай

Указал в качестве рационального приближения к p величину 355/113

Показал, что число  p заключено между 3,1415926 и  3,1415927.

Персия

Продолжительность года по его приближениям составляла 365 и 8/33   суток и погрешность всего 19 секунд в год

Идея  реформы календаря.

Италия

Предложил приближённое выражение для     квадратного корня из 13

Учебник «Алгебра»
Изучал извлечение квадратного корня из чисел

Италия

Ввёл при записи цепной дроби повторное применение дробной черты, вместо + он употреблял перлюэт (&) его запись разложения квадратного корня из 18  выглядела следующим образом:  =4& 2/8  &2/8  …

Разложение  иррационального числа в ряд.

Германия

Нашёл  рекуррентные соотношения для последовательного вычисления числителей и знаменателей подходящих дробей.

Пришёл к цепным дробям путём приближённого представления обыкновенных дробей с большими числителями и знаменателями Он раскладывал обыкновенную дробь в цепную, используя таблицу.  Но при этом Швентер  рассматривал правильные дроби, числители которых были равны единице

Англия

Первый разложил трансцендентное число 4/п    в бесконечное произведение

Валлис ввёл понятие цепные дроби.

Англия

Разложил 4/п в цепную дробь

Голландия

Гюйгенс обратил внимание на то, что нельзя найти обыкновенную дробь с меньшими числителем и знаменателем, чем подходящая, которая была бы ближе к значению цепной дроби; а также, что подходящие дроби попеременно то больше, то меньше значения цепной дроби.

Он строил модель солнечной системы с помощью набора зубчатых колес. По расчетам оказалось, что отношение числа зубцов     двух каких-либо колёс должно быть равным отношению времён обращения двух планет вокруг Солнца.

Швейцария, Пруссия, Россия

Систематизировал знания о цепных дробях и изложил полную их теорию

1744 г. -рассматривал цепную дробь общего вида и впервые появляются соответствующие цепные дроби.
1750г. - рассматривались вопросы о применении цепных дробей для решения дифференциальных уравнений, алгоритм нахождения подходящих дробей, преобразование числовых рядов в равноценные цепные дроби, представление иррациональных чисел в цепные дроби и нахождение для некоторых из них подходящих дробей.

Франция

квадратичные иррациональности есть именно те числа, которые имеют периодические разложения (начиная с некоторого n)

Им предложено неравенство, оценивающее погрешность при замене действительного числа его подходящей дробью, а также решение уравнения Пелля